《趣味教學(xué)：球體體積公式的趣味球體推導(dǎo)過(guò)程》
一、前言
數(shù)學(xué)公式往往給人一種枯燥的教學(xué)感覺(jué)，但當(dāng)我們深入探究其推導(dǎo)過(guò)程時(shí)，體積卻能發(fā)現(xiàn)許多趣味之處。公式就拿球體體積公式來(lái)說(shuō)，推導(dǎo)過(guò)它的趣味球體推導(dǎo)過(guò)程猶如一場(chǎng)奇妙的數(shù)學(xué)之旅，充滿了意想不到的教學(xué)思路和方法。
二、體積祖暅原理的公式引入
在推導(dǎo)球體體積公式時(shí)，我們首先要提到一個(gè)非常重要的推導(dǎo)過(guò)原理——祖暅原理。祖暅原理指出：“冪勢(shì)既同，趣味球體則積不容異”。教學(xué)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，體積如果兩個(gè)立體圖形在等高處的公式截面面積處處相等，那么這兩個(gè)立體圖形的推導(dǎo)過(guò)體積相等。
?。ㄟ@里以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)理解祖暅原理，比如兩個(gè)形狀不同的杯子，如果在每個(gè)相同高度的地方，杯子的橫截面積都相同，那么這兩個(gè)杯子能裝的水是一樣多的，也就是體積相同。）
三、利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積
我們考慮一個(gè)半徑為(r)的球體。為了找到與之截面面積相等的立體圖形，我們構(gòu)造一個(gè)圓柱，圓柱的底面半徑為(r)，高為(2r)。然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)同底等高的圓錐。
對(duì)于球體，我們?cè)诟叨?h)處的截面是一個(gè)圓，其半徑(R = \sqrt{ r^{ 2}-(h - r)^{ 2}})，截面面積(S_{ 球}=\pi R^{ 2}=\pi\left(r^{ 2}-(h - r)^{ 2}\right))。
對(duì)于我們構(gòu)造的圓柱挖去圓錐后的組合體，在高度(h)處的截面是一個(gè)圓環(huán)。圓柱的截面面積是(\pi r^{ 2})，圓錐在高度(h)處的截面半徑是(\frac{ h}{ 2r}r=\frac{ h}{ 2})，其截面面積是(\pi(\frac{ h}{ 2})^{ 2})，那么組合體在高度(h)處的截面面積(S_{ 組}=\pi r^{ 2}-\pi(\frac{ h}{ 2})^{ 2}=\pi\left(r^{ 2}-\frac{ h^{ 2}}{ 4}\right))。
經(jīng)過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，球體和這個(gè)組合體在等高處的截面面積是相等的。根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等。
圓柱的體積(V_{ 柱}=\pi r^{ 2}\times2r = 2\pi r^{ 3})，圓錐的體積(V_{ 錐}=\frac{ 1}{ 3}\pi r^{ 2}\times2r=\frac{ 2}{ 3}\pi r^{ 3})。
所以組合體的體積(V = V_{ 柱}-V_{ 錐}=2\pi r^{ 3}-\frac{ 2}{ 3}\pi r^{ 3}=\frac{ 4}{ 3}\pi r^{ 3})，這也就是球體的體積公式。
通過(guò)這樣趣味的推導(dǎo)過(guò)程，我們不僅得到了球體體積公式，還深刻理解了祖暅原理以及不同立體圖形之間的關(guān)系。