《求解離心率問題的求解常見思路與易錯(cuò)點(diǎn)》
**前言：**離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，它在圓錐曲線的離心率問研究中有著舉足輕重的地位。無論是思路橢圓、雙曲線還是易錯(cuò)拋物線（拋物線離心率為1，特殊情況單獨(dú)考慮），求解求解離心率的離心率問值或者范圍的問題在各類考試中屢見不鮮。掌握求解離心率問題的思路常見思路并規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn)，是易錯(cuò)我們學(xué)好圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的關(guān)鍵一步。
一、求解常見思路
定義法
對(duì)于橢圓，離心率問離心率(e = \frac{ c}{ a})（其中(c)為半焦距，思路(a)為長半軸長）；對(duì)于雙曲線，易錯(cuò)(e=\frac{ c}{ a})（(c)為半焦距，求解(a)為實(shí)半軸長）。離心率問在很多題目中，思路可以直接利用橢圓或者雙曲線的定義，結(jié)合已知條件求出(a)與(c)的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率。例如橢圓上一點(diǎn)(P)到兩焦點(diǎn)(F_1,F_2)的距離之和為(2a)，如果已知(\vert PF_1\vert)、(\vert PF_2\vert)與(c)的某種關(guān)系，就可以求出離心率。
方程法
當(dāng)圓錐曲線方程已知時(shí)，根據(jù)曲線方程中的(a,b,c)關(guān)系（橢圓(c^{ 2}=a^{ 2}-b^{ 2})，雙曲線(c^{ 2}=a^{ 2} + b^{ 2})），結(jié)合題目中的其他條件列出關(guān)于(a,c)的方程，從而求解離心率。例如，已知橢圓(\frac{ x^{ 2}}{ a^{ 2}}+\frac{ y^{ 2}}{ b^{ 2}} = 1(a>b>0))過某點(diǎn)((x_0,y_0))，將點(diǎn)代入方程后，再利用(c^{ 2}=a^{ 2}-b^{ 2})和(e=\frac{ c}{ a})求解離心率。
幾何關(guān)系法
圓錐曲線具有很多特殊的幾何性質(zhì)。例如在橢圓中，過焦點(diǎn)垂直于長軸的弦長為(\frac{ 2b^{ 2}}{ a})；在雙曲線中，漸近線方程為(y=\pm\frac{ b}{ a}x)。利用這些幾何性質(zhì)結(jié)合三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何關(guān)系，建立(a)與(c)的聯(lián)系來求解離心率。比如在橢圓中，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，(\cos\theta=\frac{ \vert PF_{ 1}\vert^{ 2}+\vert PF_{ 2}\vert^{ 2}-\vert F_{ 1}F_{ 2}\vert^{ 2}}{ 2\vert PF_{ 1}\vert\vert PF_{ 2}\vert})，再結(jié)合橢圓定義求出離心率。
二、易錯(cuò)點(diǎn)
概念混淆
在橢圓和雙曲線中，(a,b,c)的關(guān)系有所不同，橢圓是(c^{ 2}=a^{ 2}-b^{ 2})，雙曲線是(c^{ 2}=a^{ 2}+b^{ 2})。如果在解題過程中混淆這兩個(gè)關(guān)系，必然會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。例如在求解雙曲線離心率時(shí)錯(cuò)誤地使用橢圓(a,b,c)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。
忽略范圍限制
橢圓離心率的范圍是((0,1))，雙曲線離心率的范圍是((1,+\infty))。在求解離心率過程中，如果得出的結(jié)果不在相應(yīng)的范圍內(nèi)，那一定是解題過程出現(xiàn)了錯(cuò)誤。比如在求解橢圓離心率時(shí)得到(e = 2)，這顯然不符合橢圓離心率的范圍，需要重新檢查解題步驟。