半角公式是半角如何推導(dǎo)出來的？詳細(xì)推導(dǎo)過程大揭秘
前言： 在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，半角公式是公式非常重要的內(nèi)容。它為我們解決很多與角度減半相關(guān)的何推三角函數(shù)問題提供了便利。然而，導(dǎo)出的詳導(dǎo)過你是細(xì)推否曾好奇這些半角公式是如何推導(dǎo)出來的呢？今天，我們就來深入揭秘半角公式的揭秘詳細(xì)推導(dǎo)過程。
從二倍角公式出發(fā)
我們先回顧二倍角公式(\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{ 2}\alpha)，半角將(\alpha)換為(\frac{ \alpha}{ 2})，公式得到(\cos\alpha=1 - 2\sin^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2})。何推
然后對這個式子進行變形求解(\sin\frac{ \alpha}{ 2})。導(dǎo)出的詳導(dǎo)過
首先移項得到(2\sin^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2}=1-\cos\alpha)，細(xì)推即(\sin^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2}=\frac{ 1 - \cos\alpha}{ 2})。揭秘
最后開方得到(\sin\frac{ \alpha}{ 2}=\pm\sqrt{ \frac{ 1 - \cos\alpha}{ 2}})。半角這里的公式正負(fù)號取決于(\frac{ \alpha}{ 2})所在的象限。
再看余弦的何推半角公式推導(dǎo)
同樣從二倍角公式(\cos2\alpha = 2\cos^{ 2}\alpha - 1)入手，把(\alpha)換成(\frac{ \alpha}{ 2})，則(\cos\alpha = 2\cos^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2}-1)。
移項可得(2\cos^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2}=1 + \cos\alpha)，也就是(\cos^{ 2}\frac{ \alpha}{ 2}=\frac{ 1+\cos\alpha}{ 2})。
開方得到(\cos\frac{ \alpha}{ 2}=\pm\sqrt{ \frac{ 1 + \cos\alpha}{ 2}})，正負(fù)號也取決于(\frac{ \alpha}{ 2})所在的象限。
正切的半角公式推導(dǎo)
根據(jù)正切函數(shù)的定義(\tan\frac{ \alpha}{ 2}=\frac{ \sin\frac{ \alpha}{ 2}}{ \cos\frac{ \alpha}{ 2}})。
把前面推導(dǎo)出的(\sin\frac{ \alpha}{ 2}=\pm\sqrt{ \frac{ 1 - \cos\alpha}{ 2}})和(\cos\frac{ \alpha}{ 2}=\pm\sqrt{ \frac{ 1 + \cos\alpha}{ 2}})代入可得：
(\tan\frac{ \alpha}{ 2}=\frac{ \sin\frac{ \alpha}{ 2}}{ \cos\frac{ \alpha}{ 2}}=\frac{ \pm\sqrt{ \frac{ 1 - \cos\alpha}{ 2}}}{ \pm\sqrt{ \frac{ 1 + \cos\alpha}{ 2}}})。
經(jīng)過化簡（分子分母同乘(\sqrt{ 2})等操作），還可以得到(\tan\frac{ \alpha}{ 2}=\frac{ 1-\cos\alpha}{ \sin\alpha}=\frac{ \sin\alpha}{ 1 + \cos\alpha})。
通過以上詳細(xì)的推導(dǎo)過程，我們就清楚地得到了半角公式。這些公式在解決三角函數(shù)的求值、化簡以及證明等問題中都有著廣泛的應(yīng)用。